ММФ НГУ, гр. 127, 128
Полугодовой курс, 1993-94 уч. г.
Лектор - Д. А. Коршунов

 

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 
Часть 1

Глава 1. Вероятность
  1. Конечное вероятностное пространство. Основные понятия, задача о разделе ставки, спортлото. Классическое определение вероятности. Свойства математического ожидания, вероятности.
  2. Общее определение вероятности. Понятие алгебры, сигма-алгебры, конечно и счетно-аддитивной вероятностей. Геометрическая вероятность. Задача Бюффона.
  3. Простые случайные величины. Определение. Математическое ожидание простой случайной величины, корректность его определения. Вероятность объединения нескольких событий.
    4.

 

Глава 2. Условная вероятность и независимость
  1. Условная вероятность. Определения. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
  2. Независимость событий и простых случайных величин.
  3. Последовательность независимых испытаний Бернулли. Распределение времени ожидания первого успеха. Распределение числа успехов, биномиальное распределение.
  4. Теорема Пуассона. Уточненная теорема Пуассона.
    5.

 

Глава 3. Цепи Маркова
  1. Определение цепи Маркова и его следствия. Переходные вероятности. Независимость прошлого и будущего при известном настоящем. Сохранение марковского свойства (a) при обращении времени и (b) при прореживании времени.
  2. Матричная запись вероятностей перехода.
  3. Асимптотика вероятностей перехода. Эргодическая теорема для регулярной цепи.
  4. Существенные и несущественные состояния, их свойства. Геометрически быстрое убывание вероятности попадания в несу- щественное состояние.
  5. Разложимые цепи Маркова: периодические состояния, подклассы. Теорема солидарности. Эргодическая теорема для цепи Маркова, имеющей один класс существенных, сообщающихся, непериодических состояний.
  6. Возвратность. Определения, критерий возвратности состояния. Примеры: конечные цепи, бернуллиевское случайное блуждание в d-мерном пространстве (симметричное и несимметричное).
    7.

 
Часть 2

 

Глава 4. Математическое ожидание случайной величины
  1. Случайная величина: эквивалентные определения, замкнутость относительно обычных операций анализа.
  2. Сходимость по вероятности и сходимость с вероятностью 1.
  3. Математическое ожидание, корректность его определения. Переход к пределу и математическое ожидание (без док-ва).
  4. Неравенство Чебышева.
  5. Корреляция и независимость. Дисперсия. Критерий независимости. Закон больших чисел в форме Чебышева.
  6. Вычисление математического ожидания: распределение случайной величины, функция распределения, формула замены переменной. Теорема аппроксимации. Плотность.
  7. Совместные распределение и функция распределения.
  8. Независимые случайные величины: совместное распределение, критерии независимости.
  9. Свертка распределений.
    10.

 

Глава 5. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин
  1. Слабая сходимость распределений и сходимость интегралов от гладких финитных функций.
  2. Слабая сходимость распределений и сходимость функций распределения.
  3. Слабая сходимость и сходимость интегралов от неограниченных непрерывных функций.
  4. Характеристические функции, основные свойства.
  5. Критерий слабой сходимости в терминах характеристических функций.
  6. Центральная предельная теорема, сходимость интегралов от неограниченных непрерывных функций.
  7. Закон больших чисел при условии конечности среднего значения.
  8. Теорема Пуассона для событий разной вероятности.
    9.

 

Глава 6. Усиленный закон больших чисел
  1. Первая часть леммы Бореля - Кантелли. УЗБЧ при конечном четвертом моменте.
  2. Неравенство Колмогорова.
  3. УЗБЧ для разнораспределенных слагаемых.
  4. Лемма Бореля - Кантелли.
  5. УЗБЧ для одинаково распределенных слагаемых, необходимое и достаточное условие.
    6.

 

Глава 7. Ветвящиеся процессы
  1. Определение процесса Гальтона - Ватсона.
  2. Производящая функция процесса.
  3. Подсчет среднего числа потомков.
  4. Определение вероятности вырождения.
  5. Асимптотические результаты.
    6.

 

Список литературы

  1. Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.
  2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2. М.: Мир, 1984.