ММФ НГУ, гр. 801, 802, 803, 823, 824
Полугодовой курс, 2000-01 уч. г.
Весенний семестр
Лектор - Д. А. Коршунов

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Глава 1. Последовательность независимых измерений: основные понятия
  1. Выборочное распределение и выборочная функция распределения. Теорема Гливенко - Кантелли.
  2. Выборочное пространство как конкретная реализация модели независимых наблюдений.
  3. Условие доминирования для семейства распределений. Примеры: нормальное и пуассоновское семейства. Расстояние Хеллингера.
  4. Понятие вариационного ряда. Построение эмпирической функции распределения по вариационному ряду.
  5. Выборочные характеристики: выборочные среднее, дисперсия, моменты высших порядков, медиана и квантиль. Свойства средних значений выборочных характеристик, вопросы сходимости.
    6.

Глава 2. Точечное оценивание параметра
  1. Постановка задачи оценивания параметра. Состоятельные и сильно состоятельные семейства оценок.
  2. Методы построения оценок. Метод моментов, его состоятельность. Метод подстановки, условия его состоятельности. Метод максимального правдоподобия, его связь с методом подстановки.
  3. Асимптотически нормальные оценки. Проверка асимптотической нормальности оценок метода моментов.
  4. Проверка асимптотической нормальности выборочной медианы и выборочной квантили.
  5. Среднеквадратичный подход к сравнению оценок. Смещение и среднеквадратичное уклонение оценки. Примеры: а) сравнение выборочного среднего и выборочной медианы, б) оценки максимального правдоподобия и метода моментов для нерегулярных семейств.
  6. Оценка снизу для среднеквадратичного риска: неравенство Рао - Крамера. Эффективные и R-эффективные оценки.
  7. Примеры: пуассоновское, нормальное и равномерное семейства.
  8. Сравнение асимптотически нормальных оценок.
    9.

Глава 3. Построение доверительных интервалов
  1. Постановка задачи о построении доверительного интервала заданного уровня.
  2. Построение доверительного интервала заданного уровня с помощью свободных статистик.
  3. Примеры: оценка параметров нормального распределения.
  4. Хи-квадрат распределение, его свойства.
  5. Лемма Фишера. Ее применение к построению доверительных интервалов для параметров нормального распределения.
  6. Построение асимптотического доверительного интервала по асимптотически нормальной оценке.
    7.

Глава 4. Проверка статистических гипотез: выбор из конечного числа простых гипотез
  1. Постановки задачи о проверке гипотезы о распределении выборки. Статистический критерий: нерандомизированный и рандомизированный. Вероятности ошибок.
  2. Понятие состоятельности семейства решающих правил. Функция правдоподобия, правило максимального правдоподобия. Состоятельность правила максимального правдоподобия. Примеры: нормальное и пуассоновское семейства.
  3. Различение двух простых гипотез. Размер и мощность критерия. Лемма Неймана - Пирсона о существовании наиболее мощного критерия.
  4. Распознавание более чем двух простых гипотез: байесовский подход. Байесовское решающее правило: теорема о его существовании. Состоятельность байесовского решающего правила при положительных весах гипотез.
  5. Связь проверки гипотез с доверительными интервалами.
  6. Проверка гипотезы о среднем значении выборки из нормального распределения. Проверка гипотезы о дисперсии выборки из нормального распределения.
  7. Проверка гипотезы о равенстве средних значений в двух выборках из нормального распределения.
    8.

Глава 5. Проверка гипотез: сложные альтернативы
  1. Сложные альтернативы. Равномерно наиболее мощный критерий. Его существование в случае монотонных экспоненциальных семейств распределений.
  2. Критерий Колмогорова для проверки гипотезы о распределении выборки, его непараметричность. Состоятельность критерия Колмогорова.
  3. Хи-квадрат критерий: проверка гипотез по группированным данным. Теорема Пирсона, её доказательство в случае двух интервалов. Состоятельность критерия хи-квадрат.
    4.

Литература
  1. Боровков А. А. Математическая статистика. Ч. I, II. Новосибирск: НГУ, 1983, 1984.
  2. Боровков А. А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.
  3. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1965.
    4.