Годовой курс, 1996-97 уч. г.
Лектор - Д. А. Коршунов

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

 
Осенний семестр

Глава 1. Введение

1. Критерий Колмогорова о существовании непрерывной модификации процесса в терминах малости моментов приращений процесса.
2. Понятие стохастически непрерывного процесса.
3. Общий вид характеристической функции, среднего значения и дисперсии стохастически непрерывного однородного процесса с независимыми приращениями.
4. Винеровский процесс. Стохастическая непрерывность, непрерывность траекторий с вероятностью 1.
5. Недифференцируемость траектории винеровского процесса в любой точке.
6. Пуассоновский процесс. Стохастическая непрерывность. Ступенчатый характер траекторий пуассоновского процесса.
7. Совместное распределение моментов скачков пуассоновского процесса.
8. Сложный (обобщенный) пуассоновский процесс.

1. Гильбертово пространство L2(W,F,P). Среднее значение процесса, корреляционная (ковариационная) функция. Ковариационные функции винеровского и пуассоновского процессов.
2. Непрерывность случайного процесса в L2. Критерий непрерывности. Непрерывность винеровского и пуассоновского процессов в L2.
3. Дифференцирование случайного процесса в L2. Недифференцируемость винеровского и пуассоновского процессов в L2.
4. Интеграл Римана от случайного процесса в L2.
5. Стационарные (в широком смысле) случайные процессы и последовательности. Положительная определенность ковариационной функции. Стационарность винеровского и пуассоновского процессов.
6. Гауссовские распределения.
7. Гауссовский процесс. Существование гауссовского процесса, ковариационная функция которого совпадает с заданной положительно определенной функцией B(t,s). Существование стационарного гауссовского процесса, ковариационная функция которого совпадает с заданной положительно определенной функцией b(t).
8. Элементарная стохастическая ортогональная мера. Структурная функция стохастической меры. Стохастический интеграл от неслучайной функции.
9. Распределение интеграла от неслучайной функции по винеровской мере.
10. Физический смысл спектральной теории.
11. Спектральная мера стационарной последовательности. Понятие спектральной плотности.
12. Спектральное представление стационарной последовательности.
13. Формула Шеннона - Котельникова.
14. Примеры стационарных последовательностей и их спектров.
15. Задача прогноза случайной последовательности.
16. Вполне детерминированные случайные последовательности. Критерий детерминированности.
17. Вполне недетерминированные случайные последовательности. Критерий недетерминированности.
18. Теорема о разложении стационарной последовательности на вполне детерминированную и вполне недетерминированную составляющие.
19. Абсолютно точный прогноз вполне детерминированных последовательностей.
20. Теорема об общем представлении вполне недетерминированной случайной последовательности в виде линейной комбинации некоррелированных величин.
21. Теорема об общем представлении спектральной плотности вполне недетерминированной случайной последовательности.
22. Прогноз вполне недетерминированных последовательностей (метод Винера).

1. Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.
2. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987.
3. Юринский В. В. Случайные процессы. Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 1987.

1. Винеровский процесс, его свойства.
2. Момент достижения траекторией винеровского процесса границы области, конечность его среднего значения. Среднее время достижения границы круга из его центра.
3. Бесконечная дифференцируемость вероятностей выхода из области.
4. Гармоничность вероятностей выхода из области.
5. Понятие регулярной точки границы. Краевые условия в регулярных точках границы.
6. Некоторые свойства одно- и двумерных винеровских процессов.
7. Достаточное геометрическое условие регулярности граничной точки.
8. Решение задачи Дирихле.
9. Свойства траектории двумерного винеровского процесса: вероятность попадания в фиксированную точку, плотность траектории всюду на плоскости.
10. Решение задачи Дирихле для полуплоскости.
11. Среднее время выхода винеровской траектории из области. Уравнение Пуассона.

1. Поток событий. Поток однородных событий.
2. Условия простейшего потока: стационарность приращений, отсутствие последействия, ординарность.
3. Дифференциальные уравнения простейшего потока, их решение.
4. Интенсивность потока. Параметр потока.
5. Описание системы обслуживания с ожиданием.
6. Марковское свойство процесса обслуживания.
7. Уравнения для системы обслуживания с ожиданием.
8. Стационарное решение системы дифференциальных уравнений.
9. Распределение длительности ожидания обслуживания, когда система находится в стационарном режиме. Средняя длительность ожидания.
10. Анализ системы обслуживания в условиях большой нагрузки.
11. Процессы гибели и размножения; составление дифференциальных уравнений.
12. Ненагруженный резерв без восстановления.
13. Нагруженный резерв без восстановления.
14. Системы с потерями.
15. Простейший нестационарный поток. Мгновенное значение параметра потока. Уравнения для определения вероятностей. Решение уравнений - неоднородный процесс Пуассона.
16. Существование параметра общего стационарного потока.
17. Общая форма стационарного потока без последействия. Уравнения для определения вероятностей. Решение уравнений - сложный процесс Пуассона.

1. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987.
2. Дынкин Е. Б., Юшкевич А. А. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука, 1967.